最重要的是一种必要性：笔记掌握不一定解出题，但是题解一定用到了笔记里的内容

化简

不等式
1 函数，泰勒，可以通过常数变易来确定函数再到极值（给出一题，另2022证明题也可以）
2 保号性（连续或者极限），第一种普通，第二种：
3 所有可能情况下的放缩(如果不行可能是放的不行，而不是否定这个可能)

• 基本不等式的放缩
• 分子/分母/乘积部分放缩
• 第一步或者第二步再放缩

常见不等式：

• 
• 均值不等式（2）
• 柯西不等式（2）？
• 绝对值不等式
• 积分不等式（内大外小）

恒等变形

• 基本函数变形
• 三角函数变形
• 拉格朗日中值定理
• 定积分性质
• 积分中值定理（2）
• 积分对称性（区域轴+函数轴（奇偶））
  • 区域对称：区间再现
  • 函数对称：区域减半，合并
  • 区域拼凑
• 积分周期性

口诀和笔记

函数数列

暂不填写

1 特殊曲线图像

2 数列：归纳（猜），递推

极限

函数极限：等泰洛导夹

化简技巧：合拆变换抓

数列极限：夹定拉

笔记

极限

1 分子二重积分，可以洛必达则设而不求原函数，不可以则交换积分次序
2 连乘应该用指数变换变为连加，连加可能是定积分定义
3 夹定拉里的夹：看放缩要点
4 数列直接求极限确定情况，可以先求极限然后和端点值对比得到

• 不会证极限用数列极限口诀
• 不会证有界用归纳或者递推
• 不会证单调直接跳过（分值不大）
• 一步到位的递推：（绝对值递推|xn - a| < A|xn-1 - a|, A from(0,1)）

等价无穷小比较
1 简单上限积分泰勒展开，但是从等价无穷小来找更快，求导等价无穷小来推原函数等价无穷小

2 复杂上限积分基本公式

注意：

• 趋于无穷的极限不过，就这几个

$$
lim_{n->\infty}\sqrt[n]{n} = 1 \ <=>
lim_{n->\infty}\frac{lnn}{n} = 0 \
lim_{n->\infty}\sqrt[n]{a} = 1 \
lim_{n->\infty}(1-\frac{1}{x})^x = e
$$

• 提前化简：指数函数x->0或者x在x->1时可以直接化简
• 凑等价无穷小：由于小题必定等价无穷小或者洛必达，并且前者更常见，因此思考凑，比如$e^{tanx} - e^x = e^x(e^{tanx-x}-1) ～ tanx - x$
• 洛必达通常在第二步，因此如果能够让求导更容易就先化简，分子最小的无穷小必须高阶于分母无穷小才能洛必达（0是永恒的高阶无穷小）。原因很简单，泰勒展开的条件就是无穷小能够高阶达到为0，否则$\frac{o(x)+o(x^2)}{x^2}$消不掉
• 放缩求极限即夹逼，也要额外记一个公式

不等/等式证明

不等式
2.构造函数的极值
等式
1.单中值定理：罗尔（证导数为0）/拉/柯
构造：观察（加减乘除求导）/公式法
2.双中值定理：拉拉，罗拉，拉柯
构造：找到三个端点
3.泰勒公式
注意误差为n+1次 ，可能会搭配介值定理来不恒等变形

笔记

技巧：
1.定积分用积分中值定理
2.上限积分用洛必达/泰勒
3.导数定义
4.极限存在且分母极限为0则分子极限为0
5.连续则有最大最小值的介值定理，介值定理只讨论端点

注意：方程左右两边绝对值，实际上只是一个绝对值（因为正负抵消），而不等式则有四种

求导

口诀

考点：微分方程，全微分，链式法则，隐函数，积分，定义

• 一元求导：定构方高

• 多元求导：微练拳击

笔记

1 订购方高里的构造：函数和一阶导数是罗尔或者基本运算（后者反而更简单更容易忽略），函数值和一阶导数关系是拉格朗日，高阶是泰勒

2 隐函数：直接或者存在定理（存在定理确定了函数连续可导）

3 微不是全微分，是微分定义

4 求导对于对称性里的奇偶性影响

5 方是方程，微分方程最重要的就是函数的求导和微分之间关系

6 高阶导数的泰勒和莱布尼兹里，通过推理来局部/整体使用，各给出一个例子7 二元偏导从一元导数角度考虑（积也算是一种想法)：

连续间断

1 分段函数，分类讨论的左右极限

2 连续可以推出介值定理，中值定理，零点定理，最大最小值定理等各种定理

渐近线

1 三类渐近线分类讨论，极限只要单侧满足即可，具体求则两个都要看

2 斜渐近线：f(x)/x极限为a，f(x)-ax极限为b。从而求出答案

驻点极值拐点

1.极值点充要邻域最值，并非存在一阶导数。如果可导则有两个充分判定，第一个更普遍（左右异号或者单调）

2 拐点（凹凸性变化）两个有充分判定，第一个更普遍（左右异号）

反常积分

无穷和瑕是f(x)的0和无穷，而不是原函数，原函数极限存在则反常积分收敛

题型大概率拆分成一个反常积分一个瑕积分，可以代点再判断收敛

判定：

• 比较审敛法：大收小收，小发大发

• =>极限审敛法（0/0型）

• $lim_{x->\infty}f(x)x^p=? \ or \ lim_{x->a+}f(x)(x-a)^p=? \ 0收，无穷发，其余同敛散$

• 要求：左区间标记：无穷闭点发散，瑕开点收缩

常见反常积分：

积分

一道同样的题可能从导数角度和积分角度考虑。

口诀

• 化：中性区导

• 一重积分：化一分二

• 二重积分：极一交

• 证明：最大最小值，泰勒？，中值定理，求导

笔记

注意：

• 换元：碰到绝对值注意前提，同时不是单调则不应该代入端点
• 第二类换元有三角换元（针对根号内平方差），和x=pi-t, x=pi/2 -t（针对修改上下限）
• arcsinsinx = x, pi-x的分类讨论
• 对于上限积分，要么求导要么原函数，
  • 原函数要么性质（比fx积分连续可导条件强（原函数定义就是可导））要么分段，不管怎样一定会求积分或者导数
  • 求导必须看清是f(u)或者xf(u)，否则f(u, x)必须换元
• 分步积分：反对幂三指为u，v可以是dv的任何一个原函数，比如2x得到x^2+c，c根据题目给的确定。例子：
  • $\int \frac{x^n}{1+x^n}dx$,$\int \frac{x}{1+x^2}dx$
  • 
• 从上部分也可看出来分步积分目的是消元（存在求导部分或者x * 1/x），降次，化简。
• 去根号：根号内或者根号的第一类换元，三角第二类换元
• 积分奇偶性
• 有理函数积分拆分是(f(x))^k拆k个：从1->k；三角有理函数拆分必须是最简单的三角函数

一重积分

1 区间函数一个不同比较 ：内部比较：不等式口诀。外部比较：对称性周期性出口成章
2 被积函数有导数的定积分，可以用分步积分
3 使用分步积分和设而后求

二重积分

1 中性区导可以用到中性区，性质包括了对称性，没看到过周期性，还有极坐标的换元，华里士公式，形心公式。区域可加性时，一般用两种解法（极坐标+直角）
2 给定累次积分想到交换次序（交换次序为了避免计算），给极坐标想直角坐标，给直角坐标想极坐标
3 极坐标交换次序只考过强形式的
4 累乘比交换次序形式更强
5 复杂累次积分可能设而后求，紧接着也可能通过“性”来化简

定积分应用题

笔记

静：三种体积（柱，环，极），两种面积（侧，环），形心公式（从离散推起）,水中受力

动：确定抽象函数，从微分（可能使用链式法则）到题问变量的方程，得到微分方程求解（毕竟是定积分）

注意：

• 做工，压强，体积面积，质心等物理定积分，变化率即求导

微分方程

口诀

• 一：换构分公

• 高：降常

笔记

注意：微分方程公式法里的积分不加C，vdv = xdx不是公式法

1.解的结构：

• 齐次解：n阶方程即n个非零无关特解线性组合

注意：易错为r1 = r2 = r3 = 1

2.解的结论：

• 非 = 非+齐
• 齐 = 齐+齐
• 非的01系数比

3 数学二会使用微分方程求出函数f(x)，然后随你怎么玩

4 注意题目给的条件一定可以用到，不能莽撞

极值最值

1 一元极值不代表可导，可能是有定义的间断点

2 二元无条件极值通过一阶来求，二阶只是证明是否算极值，太难可以忽略

3 二元条件极值为拉格朗日乘数法

4 最值要代入边界来转化为一元极值

线代做题

考虑性质：从向量到向量组，从行列式到矩阵

口诀

行列式：特相拉变

相似关系：极值函角特行（迹秩函角特行）

特征值：行相量特行，函角惯性（函即特征值的函数，方程可整理为0矩阵从而得到特征值0）

高阶矩阵：归纳，递推法，相似对角化（高阶矩阵对应数列，求不出通项求递推式）,特征向量的函

秩：转零函分满。给出函的情况：（矩阵函数为乘，通过方程或本身乘积，存在秩不等式）

正交矩阵：定义，实对称，逆

二次型正定：特顺，正正P（* 特征值，* 顺序主子式，惯性正，*二次型正，A= P^{T}P？）（给出二次型正的不常见用法

线性方程组的解：莱特零

笔记

1 求矩阵：

• 矩阵函数（基变换：相似，合同）
• 特征向量（矩阵化）
• 解向量18年（AX=B）
• 猜向量（正交）

2 相似充要：定义/相同特征值/特征多项式+特征空间相等（实对称阵不需要，肯定等），或者使用相似对角阵传递性

3 实对称阵：

• AA^T就是实对称矩阵
• 充要为正交对角化，也就是充要为正交特征向量
• 不同特征值的特征向量相互正交
• 拉格朗日配方法：就是可逆线性变换，只要保证矩阵满秩即可

4 初等矩阵：倍加交换内数乘

• 转置：变化括号外
• 逆：变化括号内
• 伴随：除了倍加相等，其余的都改变

5 合同关系：定义/充要（惯性定理+同对称）

• 性质：传递性，惯性指数相同，累加的r相同？

6 向量组线性无关

• 定义
• 行列式（秩）
• 推理+定义

7 秩

• 复合矩阵的秩(A m*n)：r(A) + r(B) -n <= r(AB) <= min{r(A), r(B)}
• 分块矩阵的秩：max{r(A), r(B)}<= r(A, B) <= r(A) + r(B)
• r(A + B) <= r(A) + r(B)
• 可以通过非零子式来辅助判断计算是否正确
• 满秩只有唯一零解
• 等价：rA=rB=左右分块大矩阵的秩
• 同解：rA=rB=上下分块大矩阵的秩，即行向量组等价
• 公共解：上下分块ABx函数有解？

8 二次型：

• 正负惯性指数和为秩
• 惯性指数被特征值正负决定
• 矩阵的A可以拆开重组

9 线性方程组

• 解向量：和A行向量正交，齐次则作为A的特征值为0的特征向量
• 克莱默法则求唯一解
• A的列空间是值域空间
• 因此得到秩零定理

陌生题型

• 联想，题问，第一小问
• 化定，以退为进